Halaman
HimpunanStandar KompetensiMenggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah.Kompetensi Dasar4.1 Memahami penertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya.4.2 Memahami konsep himpunan bagian.4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan.4.4 Menyajikan himpunan dengan diagram Venn.4.5 Mengggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalahBab 6S a b cQP f d e
156BAB 6 HimpunanSebutkan sebanyak mungkin yang dapat kamulihat!6.1Pengertian Himpunan danAnggota HimpunanApa yang akan kamupelajari?ÀMenyatakan pengertianhimpunanÀMengenal lambang suatuhimpunanÀMenyatakan suatu obyekmerupakan anggota/elemen suatu himpunanatau bukanÀMengenal lambang“anggota” suatuhimpunan dan “bukananggota” suatu himpunanKata Kunci:xKumpulan obyekxHimpunanxLambang himpunanxAnggota/elemen himpunanxLambang “anggota” dan“bukan anggota”APengertian HimpunanPernahkah kamu melihat pertandingan sepakbola? Apa saja yang dapat kamu lihat dalamsuatu pertandingan sepak bola?Sumber:http://mysportblogs.com/09-07-elie-aiboy.jpgGambar 6.1 Pertandingan Sepak BolaDi lapangan terdapat bola, gawang pertandingan, rumputlapangan dan lain-lain.Jika kamu perhatikan, di lapangan sepakbola terdapatbermacam-macam kumpulan, antara lain kumpulan:1.pemain sepakbola2.wasit pertandingan sepakbola3.pelatih sepakbola4.petugas kesehatan sepakbola5.pemain sepakbola cadangan6.bola7.gawang pertandingan8.rumput lapangan
Matematika SMP Kelas VII 157Sekarang, perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat dikelasmu?Jika kamu perhatikan, ter-nyata dikelasmu terdapat kumpulan:1. murid yang sedang belajar2. guru yang sedang mengajar3. bangku murid4. meja guru5. papan tulis6. murid perempuan7. murid laki-lakiSebutkan, masih terdapat benda apa lagi di dalam kelasmu?Selanjutnya, perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapatdi rumahmu. Coba sebutkan kumpulan apa saja yang dapatkamu bentuk dari benda-benda di rumahmu.Jadi, pada umumnya, kita berpikir suatu himpunan sebagaisuatu koleksi objek-objek yang memberikan suatu sifat bersama.Misalnya dalam matematika, biasanya untuk memperhatikan,suatu himpunan garis, suatu himpunan segitiga, suatuhimpunan bilangan real, dsb.Dapatkah kamu secara pasti menentukan kumpulan itu?Mengapa?Dengan demikian, jika kita pergi ke lapangan tempatpertandingan sepakbola kita dapat membentuk, antara lain:1.Himpunan pemain sepakbola2.Himpunan wasit sepakbola3.Himpunan penonton sepakbolaHimpunan apa lagi yang dapat kita bentuk dari lapangansepak bola?1.Himpunan guru-guru yang mengajar di kelasku.2.Himpunan tempat duduk murid yang ada di ruangkelasku.Gambar 6.2Interaksi Belajar Mengajar di KelasSumber:Dit. PSMP, 2006
158BAB 6 HimpunanSebutkan himpunan lain yang dapat kamu bentuk darikumpulan benda-benda di kelasmu.Selanjutnya, himpunan apa saja yang dapat dibentuk darikumpul-an benda-benda di rumahmu? Dari kumpulan benda-benda di dalam tas sekolahmu? Dari kumpulan benda-bendadi dalam lema-rimu?Dapatkah kamu membentuk himpunan yang diperoleh darikum-pulan benda-benda di tempat lain? Diskusikan denganteman-temanmu.Seperti kita ketahui, jika kita pergi ke lapangan sepakbola kitadapat membentuk beberapa himpunan, antara lain:Himpunan pemain sepak bola di lapangan ituJika kata himpunan kita hapuskan dan kata-kata berikutnyadisaji-kan di antara dua kurung kurawal, menjadi:{ pemain sepakbola di lapangan itu }Pernyataan di atas merupakan salah satu cara untuk menyatakanhimpunan.Selanjutnya, cobalah kamu bersama teman-temanmumembentuk himpunan yang berasal dari:1.kumpulan murid-murid di kelasmu yang tingginya di atas125 cm.2.kumpulan benda-benda di kelasmu yang harganya kurangdari Rp25.000,003.kumpulan guru-guru di sekolahmu yang sedangmengenakan pakaian seragam.4.kumpulan bunga berwarna merah.Sekarang coba kamu pikirkan dengan teman-temanmudapatkah kamu membentuk himpunan yang berasal dari:1.kumpulan murid-murid yang tinggi di kelasmu.2.kumpulan benda-benda yang mahal.3.kumpulan guru-guru yang berpenampilan rapi disekolahmu.4.kumpulan bunga yang harum.Pikirkan, samakah himpunan yang kamu bentuk darikumpulan-kumpulan di atas dengan himpunan yang dibentukoleh teman-temanmu?
Matematika SMP Kelas VII 159Dapatkah kamu secara pasti menentukan kumpulan itu?Mengapa?1. Saya tinggi, kamu rendah, kan ? Ah, saya juga tinggi kok ! 2.Buku ini mahal lho. Ya tidak, segitu saja kok! Menurutku ya tidak terlalu mahal Menurutku Pak Rudi yang paling rapi. Menurutku sih Bu Ani yang Rapi Kalau menurutku Bu Ida dan Bu Ani ?? Mawar itu harum ya.. Ah ya nggak, lebih harum melati Kalau menurutku yang harum kenanga. Apa sih ?? 3. 4. Gambar 6.3 Ilustrasi tentang Relasi antar HimpunanSekarang bandingkan, himpunan yang kamu bentuk denganhim-punan yang dibentuk oleh teman-temanmu.Dari pembentukan himpunan-himpunan tersebut apakah yangdapat kamu simpulkan? (Misal: tentang banyaknya anggotamasing-masing himpunan).Untuk membentuk suatu himpunan, apakah benda yangdihimpun harus mempunyai tanda-tanda atau ciri-ciri tertentudan jelas?Untuk memberi nama pada suatu himpunan, pada umumnyadigu-nakan lambang huruf kapital (huruf besar), misal-nya: A,B, C, . . .P= {pemain sepakbola PERSIB}G= Himpunan guru-guru yang mengajar di kelasku.R= {rumah ibadah di desaku}I= Himpunan ikan dalam suatu akuarium.Sumber:Dit. PSMP, 2006Contoh
160BAB 6 HimpunanAnggota HimpunanPerhatikan kembali himpunan pemain sepakbola. Masing-masing pemain yang tergabung di dalamnya disebut anggotaatau elemen dari himpunan tersebut. Masing-masing pelatihbukan anggota atau bukan elemen himpunan pemain sepakbola tersebut. Bagaimana dengan setiap penonton sepak-bola,apakah merupakan anggota dari himpunan tersebut?Jika A = Himpunan murid kelas VII SMP yang sekelasdenganmu, maka setiap murid kelas VII SMP yang seke-lasdenganmu merupakan anggota dari himpunan A tersebut. Sudah tentu setiap murid kelas VIII SMP di sekolahmu bukananggota dari himpunan A tersebut. Apakah guru-guru yangmengajar di kelasmu merupakan anggota himpunan A tersebut?Sekarang perhatikan himpunan H = Himpunan hari yangnamanya berhuruf awal S.Hari-hari apa sajakah yang merupakan anggota H?Hari-hari apa sajakah yang bukan merupakan anggota H?Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakanlambang dan untuk menyatakan bukan anggota suatuhimpunan digunakan lambang .Karena Senin merupakan anggota himpunan H, maka dapatdituliskan:Senin HSedangkan Rabu bukan merupakan anggota himpunan H, makadapat dituliskan:Rabu HSekarang perhatikan himpunan A = Himpunan bilangan aslikurang dari lima. Maka kita dapat menuliskan:1 A, 5 A,2 A, dan 7 A,3 A, 9 A,4 A,11 A.Selanjutnya perhatikan himpunan P = Himpunan nama-namabulan berhuruf awal J.B
Matematika SMP Kelas VII 161Manakah di antara pernyataan berikut yang merupakanpernyataan yang benar?a. Januari Pb. Februari Pc.Maret Pd. April Pe. Mei Pf.Juni Pg. Juli Ph. Agustus Pi.September Pj. Oktober Ï Pk. November Pl.Desember P1.Kumpulan-kumpulan berikut ini, nyatakan “dapat” ataumembentuk suatu himpunan.a. kumpulan bunga-bunga yang indah.b. kumpulan siswa-kelas I SMP yang berulang tahun padatanggal 1 Juli.c. kumpulan guru-guru SMP yang berusia kurang dari 40tahun.d. kumpulan guru-guru SMP yang bijaksana.e. kumpulan bilangan genap antara 1 dan 10.f. kumpulan bilangan prima kurang dari 20.g. kumpulan siswa kelas I SMP yang pandai.h. kumpulan walimurid SMP yang sabar.i. kumpulan buku paket matematika SMP.j. kumpulan orang-orang yang rajin belajar.2.Diketahui P = {bilangan pembagi dari 24}Periksalah apakah pernyataan berikut ini benar atau salah.a. 1 Pb. 2 Pc. 3 Pd. 4 Pe. 5 Pf. 6 Pg. 8 Ph. 9 Pi. 10 Pj. 12 Pk. 20 Pl. 24 PLatihan 6.1
162BAB 6 Himpunan3.Kaitan dengan dunia nyataGambar 6.4 Peta Kepulauan Indonesia Diketahui M = Himpunan semua propinsi di Indonesia.Periksalah dan tentukan apakah pernyataan berikut ini benaratau salah.a.Jakarta Mg. D. I. Yogyakarta Mb.Kalimantan Timur Mh. Bali Mc.Jawa Timur Mi.Jayapura Md.Banjarmasin Mj.Palembang Me.Timor Timur Mk. Banda Aceh Mf.Ujung Pandang Ml.Maluku MSumber:Dit. PSMP, 2006
Matematika SMP Kelas VII 163Seperti telah kamu ketahui bahwa himpunanpemain sepak bola PERSIB dapat disajikan dalambentuk {pemain sepak bola PERSIB}. Himpunandapat dinyatakan dengan beberapa cara. Misalkita mempunyai himpunan: Himpunan bilanganprima kurang dari 10. Himpunan ini dapatditulis sebagai: {bilangan prima kurang dari 10}.Cara menyatakan himpunan seperti di atasdisebut cara menyatakan himpunan dengankata-kata.Jika kita mempunyai P = {bilangan prima ku-rang dari 10}, maka kita dapat menyebutkanmasing-masing anggota dari P, yaitu 2, 3, 5, 7.Jika semua anggota himpunan P tersebutdisajikan di antara dua kurung kurawal dan duaanggota yang berdekatan dipisahkan oleh tanda“,” maka diperoleh: {2, 3, 5, 7}6.2Menyatakan HimpunanApa yang akan kamupelajari?ÀMenyebutkan macam-macam cara menyatakanhimpunanÀMengubah himpunan darisalah satu cara penyajianke cara penyajian yang lainKata Kunci:xCara menyatakanhimpunanxMendaftarxNotasi pembentukhimpunanACara Menyatakan HimpunanCara tersebut disebut cara menyatakan himpunan dengan caramendaftar.Jadi:P = Himpunan bilangan prima kurang dari 10 dapat ditulismenjadi:P = {2, 3, 5, 7}Beberapa contoh himpunan yang dinyatakan dengan caramendaftar adalah:1.K = {1, 3, 5, 7, 9}2.L = {Januari, Juni, Juli}3.M= {1, 2, 3, 4, . . . , 100}4.N = {7, 14, 21, 28, . . .}
164BAB 6 HimpunanPerhatikan contoh himpunan P = { 2, 3, 5, 7 }.Untuk menjadi anggota himpunan P sudah tentu adapersyaratannya, yaitu setiap anggota P merupakan bilanganprima kurang dari 10.Oleh karena itu himpunan P dapat dinyatakan dengan syaratkeanggotaan himpunan atau dengan notasi pembentukhimpunansebagai berikut:P = {x : x adalah bilangan prima kurang dari 10} atau:P = {x : x < 10, x adalah bilangan prima}yang dibaca:Himpunan P adalah himpunan yang anggota-anggotanya xsedemikian hingga x kurang dari 10 dan x adalah bilanganprima.Contoh lain cara menyatakan himpunan dengan notasipembentuk himpunan, misalnya:a.W = {0, 1, 2, 3, . . . , 10} dapat ditulis:W = {n : n adalah bilangan cacah yang tidak lebih dari 10}atauW = {n : n adalah bilangan cacah kurang dari 11}atauW = {n : n < 10, n W}; W = Himpunan bilangan cacah.atauW = {n : n < 11, n W}; W = Himpunan bilangan cacahb.N = {1, 2, 3, . . . , 99} dapat ditulis:N = {a : a bilangan asli kurang dari 100}atauN = {a : a < 100, a N}; N = Himpunan bilangan aslic.N = {7, 14, 21, 28, . . .} dapat ditulis:N = {m : m adalah bilangan asli kelipatan 7}Dari pembahasan di atas, dapat dilihat bahwa suatu himpunandapat dinyatakan dengan tiga cara.Sebutkan, dengan cara apa saja?
Matematika SMP Kelas VII 165Mengenal Beberapa Macam Himpunan BilanganDi sekolah dasar kamu telah mengenal dan mempelajariberbagai macam bilangan. Jika dari masing-masing kumpulanbilangan tertentu dibentuk suatu himpunan, maka akanterbentuk bermacam-macam himpunan bilangan, di antaranya:1.Nyatakan himpunan berikut ini dengan notasi pembentukhimpunan.a. N = Himpunan bilangan asli antara 2 dan 7b. L = {10, 11, 12, 13, . . .}c. M = {2}Jawab:a. N = {x : 2 < x < 7, x adalah bilanan asli}b. L = {n : n > 10 , n adalah bilangan cacah}c. M = {x : x adalah bilangan prima yang genap}BCatatan*Bilanganprima adalahbilangan asliyang mem-punyai tepatdua faktor,yaitu 1 danbilangan itusendiri.*Bilangankompositadalahbilangan asliyang mempu-nyai lebihdari duafaktor.1.W = Himpunan bilangan cacah, atauW = {0, 1, 2, 3, . . .}2.N = Himpunan bilangan asli, atauN = {1, 2, 3, 4, . . .}3.E= Himpunan bilangan cacah genap, atauE= {0, 2, 4, 6, . . .}4.O= Himpunan bilangan cacah ganjil, atauO= {1, 3, 5, 7, . . .}5.S= Himpunan kuadrat bilangan asli, atauS= {1, 4, 9, 25, . . .}6.T= Himpunan pangkat tiga bilangan asli, atauT= {1, 8, 27, 64, . . .}7.P= Himpunan bilangan prima, atauP= {2, 3, 5, 7, . . .}8. K= Himpunan bilangan komposit (bilangancacah yang bukan prima), atau K = { 4, 6 ,8, 9, . . .}Contoh
166BAB 6 Himpunan2.Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftaranggota-anggotanya.a. P = { x | x adalah bilangan prima lebih dari 10 }b. S = Himpunan bilangan kuadrat yang lebih dari 15c. P = { n | 1 < n < 5, n adalah bilangan asli }Jawab:a. N = { 11, 13, 17, 19, . . . }b. O = { 16, 25, 36, 49, . . . }c. P = { 1, 2, 3, 4, 5 }1. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar.a. A = Himpunan bilangan cacah genap antara 20 dan 30b. B = Himpunan 6 bilangan asli yang pertama.c. C = Himpunan faktor dari 24.d. D = Himpunan kuadrat 5 bilangan asli yang pertama.e. E = Himpunan 7 bilangan cacah genap yang pertama.f. F = Himpunan bilangan kelipatan 5 antara 1 dan 100g. G = Himpunan huruf pada kata “matematika”.h. H = Himpunan kelipatan tiga bilangan asli.i. I = Himpunan 8 bilangan komposit yang pertama.j. J = Himpunan bilangan prima antara 10 dan 40.2. Nyatakan himpunan berikut ini dengan kata-kata.a. A = { 6, 12, 18, 24, . . . }b. B = { 23, 29, 31, 37 }c. C = { 3, 5, 7, 9, 11 }d. D = { 0, 2, 4, . . . 16 }e. E = { 1, 4, 9, 16, 25 }f. F = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 }g. G = { a, b, c, d, e, f, g, h }h. H = { 4, 8, 12, 16, 20 }i. I = { 5, 10, 15, 20, . . . }J. J = { 1, 8, 27, 64, . . . }Latihan 6.2
Matematika SMP Kelas VII 1673.Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentukhimpunan.a. A = {12, 13, 14, 15, . . . , 25}b. B = {11, 13, 17, 19, . . .}c.C = Himpunan bilangan cacah genap tidak lebih dari50d. D = Himpunan bilangan ganjil antara 10 dan 20.e.E = {4, 6, 8, 10, 12, 14}f.F = {a, i, u, e, o}g. G = Himpunan 4 bilangan cacah ganjil yang pertama.h. H = {0, 1, 4, 9, 16, 25}i.I = Himpunan 8 bilangan prima yang pertama.j.J = Himpunan bilangan kelipatan 7 dari bilangan asli.4.Nyatakan setiap himpunan berikut dengan dua cara yanglain.a. A = Himpunan bulan yang lamanya tidak 31 harib. B = Himpunan huruf vokal dalam abjad Latin.c.C = Himpunan hari dalam satu minggu yangnamanya berhuruf akhir “u”.d. D = {Senin, Selasa , Sabtu}e.E = {Januari, Februari, Mei, Juni, Juli}f.F = {merah, kuning, hijau}g. G = {merah, putih}h. H = {merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu}i.I = Himpunan tahun kabisat antara 1900 dan 1925.j.J = Himpunan panca indera manusia.Kaitan dengan kehidupan dunia nyata
168BAB 6 Himpunan6.3Himpunan Berhingga dan TakBeringgaApa yang akan kamupelajari?ÀMembedakan himpunanberhingga dan himpunantak berhinggaÀMenentukan banyakanggota suatu himpunanKata Kunci:xKardinalitas himpunanxBanyak anggota himpunanxHimpunan berhinggaxHimpunan tak berhinggaACara Menyatakan HimpunanPerhatikan himpunan-himpunan berikut.1.P= {m, a, t, e, i, k}2.Q= {1, 3, 5, 7, 9}3.R= {2, 4, 6, 8, . . . , 20}4.S= {0, 1, 2, 3, . . .}5.T= {5, 10, 15, 20, . . .}Pada himpunan P di atas, semua anggotahimpunan didaftar di antara dua kurungkurawal, yaitu m, a, t, e, i, k. Jadi banyak anggotahimpunan P ada 6 buah.Pada himpunan Q di atas, semua anggotahimpunan juga didaftar di antara dua kurungkurawal, yaitu 1, 3, 5, 7, 9. Jadi banyak anggotahimpunan Q ada 5 buah.Pada himpunan R di atas, tidak semua anggota himpunan didaftardi antara dua kurung kurawal tetapi kita bisa menentukanbilangan yang paling besar sebagai anggo-tanya, yaitu 20. Dengandemikian kita bisa membilang banyak anggotanya. Jika kitaurutkan anggotanya mulai dari 2, 4, 6, . . dan berakhir pada 20,dan kita membi-lang banyak anggotanya, ternyata ada 10.Himpunan seperti himpunan P, Q, dan R tersebut dinamakanhimpunan berhingga. Jadi, kapan suatu himpunan dikatakanberhingga?Pada himpunan S dan T di atas, tidak semua anggota-nya didaftardi antara dua kurung kurawal, dan kita tidak dapat menentukanber-apa bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan Smau-pun T. Jadi, jika kita membilang banyak anggotanya, makakita tidak bisa menemukan anggota terakhirnya.Himpunan seperti himpunan S dan T tersebut dinamakanhimpun-an tak berhingga.Jadi, kapan suatu himpunan dikatakan tak berhingga?
Matematika SMP Kelas VII 1691.Jika A = himpunan nama bulan dalam setahunyang namanya berhuruf awal J, maka banyakanggota himpunan A ditulis n(A).Tentu-kan n(A) Apakah himpunan A berhingga?Jawab:A = {Januari, Juni, Juli}Karena banyak anggota A ada 3 buah, makan(A) = 3.Ya, himpunan A berhingga2.Jika B = himpunan bilangan ganjil antara 2 dan10, maka tentukan n(B). Apakah himpunan Bberhingga?Jawab:B = {3, 5, 7, 9}Karena banyak anggota B ada 4 buah, makan(B) = 4.Ya, himpunan B berhinggaTentukan banyak anggota himpunan-himpunan berikut.1.A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}2.B = {1000}3.C = Himpunan bilangan komposit kurang dari 10.4.D = Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 20.5.E = {6, 12, 18, . . . , 36}6.F = Himpunan bilangan prima antara 5 dan 20.7.G = {x : x < 25, x bilangan asli}.3.Dapatkah kamu menyebutkan dua contoh himpunan takberhingga?Jawab:- Himpunan semua bilangan asli- Himpunan semua bilangan bulatContohCatatan* Banyak anggotasuatu himpunan Pdilambangkandengan n(P).* Jika banyaknyaanggota itu ber-hingga, maka n(P)merupakan suatubilangan cacahdan dapat disebutbilangannya ber-apapun besarnya.* Jika banyaknyaanggota itu tidakberhingga, makabanyaknyaanggota itu tidakdapat disebut de-ngan suatu bi-langan, tetapidilambangkandengan n(P) = f.Latihan 6.3
170BAB 6 Himpunan8.H = {n : n < 6, n adalah bilangan cacah}.9.I = Himpunan bilangan prima kurang dari 35.10. J = {5, 10, 15, . . . , 50}11. Jika P = Himpunan bilangan kuadrat antara 5 dan 40.Q = Himpunan huruf vokal pada kata “trigonometri”.Apakah n(P) = n(Q)?Berapa banyak anggota setiap himpunan berikut.12. K = Himpunan huruf vokal pada kata “indonesia”.13. L = Himpunan bulan dalam satu tahun yang namanyaberhuruf akhir “er”14. M = Himpunan warna pelangi.15. N = {x : x adalah hari yang namanya tidak berhuruf awalS}16. O = {x : x adalah orang tua kandung saya}Berpikir kritis17. Jika A = Himpunan warna lampu pada rambu lalu lintas, B = Himpunan hari yang namanya berawalan S.Apakah n(A) = n(B)?18. Termasuk himpunan berhingga atau tak berhingga,masing-masing himpunan berikut?a. Himpunan buku dalam satu lemari.b. Himpunan batu kerikil dalam satu kaleng susu.c. Himpunan penduduk Indonesia.d. Himpunan bilangan cacah.e. Himpunan bilangan bulat yang kurang dari 10.f. Himpunan murid SMP di Surabayag. Himpunan guru matematika di Medan.h. Himpunan kelipatan 5 dari bilangan asli.Kaitan dengan kehidupan dunia Nyata
Matematika SMP Kelas VII 171Misalkan A = {merah, putih}.B = {merah, hijau}.C = {merah, putih, biru}.Apakah himpunan C memuat semua anggotahimpunan A?Apakah himpunan C memuat semua anggotahimpunan B?Karena C memuat semua anggota A, makadikata-kan bahwa C merupakan himpunansemesta dari himpunan A.Karena ada anggota B yang tidak termuatpada C, yaitu hijau h h C, maka dikatakanbahwa C bukan himpunan semesta darihimpunan B.Misalkan kita punya himpunan D = {merah,kuning, putih, ungu}. Apakah D memuat semuaanggota A? Ya, bukan?Jadi, D juga merupakan himpunan semesta dari A.Apakah D memuat semua anggota himpunan B? Tidak, bukan?Karena D tidak memuat semua anggota B, berarti D bukanmerupakan himpunan semesta dari himpunan B.Jadi, jika kita punya himpunan A = { merah, putih }, makahimpunan semesta dari A yang mungkin antara lain:1.C = { merah, putih, biru }, atau2.D = { merah, kuning, putih, ungu }.Dapatkah kamu menyebutkan himpunan semesta yang lain?Dapatkah kamu menarik kesimpulan, apa yang dimaksuddengan himpunan semesta dari suatu himpunan A?6.4Diagram VennApa yang akan kamupelajari?ÀPengertian himpunansemesta dan lambangnya.ÀDiagram Venn suatuhimpunan.ÀPengertian himpunanbagian.ÀBanyak himpunan bagiandari suatu himpunanÀPengertian himpun- ankosong dan lambangnyaKata Kunci:zHimpunan semesta.zDiagram Venn.zHimpunan bagian.zHimpunan KosongAHimpunan Semesta
172BAB 6 HimpunanDari penjelasan tersebut, dapat dikatakan bahwa:Sekarang perhatikan contoh berikut.Misalnya kita mempunyai himpunan P = {1, 3, 5, 7}.Himpunan semesta yang mungkin dari P, antara lain:1.S = {1, 3, 5, 7, 9}2.S = Himpunan 10 bilangan asli yang pertama3.S = {1, 2, 3, . . . , 100}4.S = {1, 3, 5, 7, . . . , 51}5.S = Himpunan bilangan asli.Sebutkan dua himpunan semesta yang mungkin untuk masing-masing himpunan berikut ini.1.A = {1, 2, 3}.2.B = {a, i, u}.3.C = {x : 2 < x < 10, x adalah bilangan asli}.4.D = {x : x t 100, x adalah bilangan bulat}.5.E = {n : n < 15, n adalah bilangan prima}.6.F = Himpunan bilangan prima yang genap.7.G = Himpunan bilangan asli yang habis dibagi 6.8.H = Himpunan bilangan komposit antara 1 dan 10.9.I = Himpunan bilangan genap yang habis dibagi 3.10. J = Himpunan bilangan prima kurang dari 20.Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan.Himpunan semesta dilambangkan dengan S.Himpunan Semesta Contoh Latihan 6.4a
Matematika SMP Kelas VII 173Kaitan dengan kehidupan dunia nyataSebutkan dua himpunan semesta yang mungkin untuk masing-masing himpunan berikut ini.11. K = {kerbau, kuda}.12. L = {Indonesia, Malaysia, Singapura}.13. M = {merah, kuning, hijau}.14. N = {jeruk, mangga, nanas}.15. O = {Juni, Juli}.16. P = {ayam, itik, angsa}.17. Q = {Surabaya, Bandung, Semarang}.18. R = {SD, SMP, SMA}.19. S = {pensil, penggaris}.20. T = Himpunan guru-guru yang mengajar di kelas K
174BAB 6 HimpunanDiagram VennCara yang memudahkan kita untuk menyatakan dan melihathubungan antara beberapa himpunan adalah dengan meng-gunakan diagram atau gambar himpunan yang disebut dengandiagram Venn.Dalam membuat suatu diagram Venn, perlu diperhatikanbeberapa hal, antara lain:1.Himpunan semesta biasanya digambarkan dengan bentukpersegipanjang.2.Setiap himpunan lain yang sedang dibicarakandigambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutupsederhana.3.Setiap anggota masing-masing himpunan digambarkandengan noktah atau titik.4.Jika banyak anggota himpunannya tak berhingga, makamasing-masing anggota himpunan tidak perludigambarkan dengan suatu titik.Jika diketahui himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g} danA = {b, d, f, g}, maka diagram Venn dari S sebagai berikut:Sedangkan diagram Venn dari himpunan S dan A adalahS A ax bx dx ex cx fx gxGambar 6.6Himpunan Bagian dalam Himpunan Semesta S ax bx dx ex cx fx gxGambar 6.5Elemen-elemen dalam Himpunan Semesta BContoh 1
Matematika SMP Kelas VII 175Diketahui S = {1, 2, 3, . . . , 10}A = Himpunan bilangan prima yang tidak lebih dari 10B = Himpunan bilangan genap antara 1 dan 10Tentukan diagram Vennya!MisalkanS = Himpunan bilangan bulatA = Himpunan bilangan asliP = Himpunan bilangan primamaka diagramnya:S APGambar 6.7Diagram Venn Himpunan bagian Gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut.1.S = {1, 2, 3, . . . , 10}A = {3, 5, 7}2.S = {1, 2, 3, . . . , 10}A = Himpunan bilangan cacah genap antara 1 dan 103.S = {a, b, c, d, . . . , j}A= {a, i, e}B = {b, c, d, i, e}4.S = {1, 2, 3, . . . , 10}A = Himpunan bilangan kuadrat yang kurang dari 10B = Himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10Soal 1Contoh 2Latihan 6.4b
176BAB 6 Himpunan5.S = {1, 2, 3, . . . , 10}A= {x : x < 4 , x adalahbilangan asli}B= {x : xd 10, x adalah bilangan prima}C = {4, 7, 8, 9, 10}Diskusikan soal-soal berikut secara berkelompok!Gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut.6.S = Himpunan siswa dikelasmu yang nama depannyadengan huruf hidup.A = Himpunan siswa dikelasmu yang nama depannyadengan huruf O.B = Himpunan siswa dikelasmu yang nama depannyadengan huruf E.7.S = Himpunan semua siswa di sekolahku.A = Himpunan siswa laki-laki di sekolahku.B = Himpunan siswa perempuan di sekolahku.C = Himpunan siswa laki-laki di kelasku.D = Himpunan siswa perempuan di kelasku.8.S = Himpunan bilangan asli.P = Himpunan bilangan asli kelipatan 2.Q = Himpunan bilangan asli kelipatan 3.R = Himpunan bilangan asli kelipatan 4.9.S = Himpunan bilangan cacah.K = Himpunan bilangan cacah genap.L = Himpunan bialngan prima.M= Himpunan bilangan komposit.Berpikir kritis:10. Jika diketahui banyaknya kepala keluarga dari warga RT02 adalah 75 orang. Di antara kepala keluarga ini yangberlangganan koran ada 50 orang, yang berlanggananmajalah ada 25 orang, yang berlangganan majalah dankoran ada 10 orang.Dengan menggunakan bantuan diagram Venn, tentukanbanyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 yang tidakberlangganan keduanya!
Matematika SMP Kelas VII 17711. Perhatikan diagram Venn berikut.Misalkan S = Himpunan siswa di kelasmuM = Himpunan siswa yang menyukai matematikaB = Himpunan siswa yang menyukai bahasa InggrisK = Himpunan siswa yang menyukai kesenianS bxaxcxdxexfxgx hxixjxlxmxnxoxpxqxrxsxtxuxoxB MK Gambar 6.8Diagram Venn tentang Irisan tiga Himpunan Jika setiap siswa diwakili oleh sebuah titik, maka tentukan:a.berapa orang siswa yang menyukai matematika?b.berapa orang siswa yang menyukai matematika dankesenian?c.berapa orang yang menyukai bahasa Inggris tetapi tidakmenyukai kesenian?d.berapa orang siswa yang menyukai ketiga-tiganya?e.berapa orang yang hanya menyukai kesenian saja?f.berapa orang yang menyukai matematika dan bahasaInggris tetapi tidak menyukai kesenian?g.berapa orang yang tidak menyukai ketiga-tiganya?h.berapa orang yang hanya menyukai salah satu dari ketigapelajaran tersebut?
178BAB 6 HimpunanHimpunan Bagian dan Himpunan KosongPerhatikan dua himpunan berikut.A = {a, c, d} dan B = {a, b, c, d, e, f}.Jika kedua himpunan tersebut digambar dengan diagram Venn,diperoleh gambar sebagai berikut.B A bx ax dx ex fx cxGambar 6.9Diagram Venn Himpunan bagian dalam Himpunan Semesta Selidiki apakah setiap anggota A juga merupakan anggota B?Jelaslah bahwa:a A dan a B,c A dan c B,d A dan d B.Dengan demikian, apakah setiap anggota A jugamerupakan anggota B? ya, bukan?Hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakanhimpunan bagian dari himpunan B, yang ditulis“A B”Sekarang perhatikan tiga himpunan berikut.A= {1, 2, 3, 4},B= {0, 1, 2}, danC= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Coba selidiki:a. Apakah setiap anggota A juga merupakan anggota C?b. Apakah setiap anggota B juga merupakan anggota C?Jawab:a. Ya, setiap anggota A juga merupakan anggota C,jadi A C.b. Tidak semua anggota B juga merupakan anggota C.CatatanAda beberapa bukuyang menggunakanlambang himpunanbagian denganlambang “”, tetapiada pula yangmenggunakanlambang “”.Dalam buku inidigunakan lambang“”.C
Matematika SMP Kelas VII 179Berarti: Ada anggota B yaitu 0 yang bukan merupakan anggotaC.Jadi dapat ditulis: 0 B dan 0 C.Hal ini dikatakan himpunan B bukan himpunan bagian darihim-punan C, atau ditulis:B C.Dari contoh-contoh tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.Misalkan A dan B himpunan. 1. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, ditulisA B, jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. 2.Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B, ditulisA B, jika ada anggota A yang bukan merupakan anggota B. Himpunan Bagian & Bukan Himpunan Bagian Selanjutnya perhatikan beberapa himpunan berikut.P= Himpunan siswa kelas VII SMP di sekolahmu yangtingginya lebih dari 5 m.Q= Himpunan guru di sekolahmu yang berusia kurang dari10 tahun.Berapa banyak anggota P?Berapa pula banyak anggota Q?Kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota, bukan?Himpunan seperti P dan Q tersebut disebut himpunan kosong,yang disimbolkan dengan atau { }.Selanjutnya carilah contoh himpunan lain yang juga merupakanhimpunan kosong.Di antara himpunan-hinpunan berikut ini coba sebutkan manayang merupakan himpunan kosong dan mana yang bukan.1.Himpunan mata pelajaran yang diajarkan di kelas VII SMP.2.Himpunan teman sekelasmu yang usianya di atas 17 tahun.3.Himpunan manusia yang pernah mendarat di bulan4.Himpunan guru Matematika yang usianya kurang dari 15tahun.5.Himpunan itik yang berkembang biak dengan beranak.
180BAB 6 HimpunanSelanjutnya perhatikan dan {0}, samakah kedua himpunantersebut? Tentu saja tidak, karena adalah himpunan yangtidak mempunyai anggota, atau himpunan kosong, sedangkan{0} adalah himpunan yang mempunyai satu anggota, yaitu 0.Himpunan bagian dari adalah , sedangkan himpunanbagian {0} adalah {0} dan . merupakan suatu himpunanbagian dari setiap himpunan. Misalnya, {0} himpunan bagiannyaadalah {0} dan . Himpunan A = {1 , 2} himpunan bagiannyaadalah {1}, {2}, {1 , 2}, . Jadi, banyaknya himpunan bagiandari himpunan A ada 22Jika diketahui B = { 1, 2, 3 }, maka:a. sebutkan himpunan-himpunan bagiannya!b. ada berapa banyaknya himpunan bagiannya?Sekarang, jika diketahui C = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka:a. sebutkan himpunan-himpunan bagiannya!b. ada berapa banyaknya himpunan bagiannya?Selanjutnya, coba pikirkan jika diketahui P = { 1, 2, 3, . , . , . ,n}, maka berapa banyaknya himpunan bagian P?1.Diketahui P = {1, 2, 3, 4, . . . , 10}Manakah di antara himpunan-himpunan berikut yangmerupakan himpunan bagian P?a. A = {1, 3, 7, 9}b. B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}c. C = {2, 3, 5, 7}d.D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}e.E = {5, 7, 9, 11}f.F= Himpunan bilangan asli kurang dari 7.g.G = {x : x < 5, x adalah bilangan cacah}h.H = {x : 2 < x < 8, x adalah bilangan asli}i.I= {x : x < 12, x adalah bilangan komposit}j.J= Himpunan bilangan kuadrat kurang dari 16.Latihan 6.4c
Matematika SMP Kelas VII 1812.Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut.a. {a, b, c} {a, b, c, d}b. {a, b, c, d, e} {a, d, e}c. {3} Himpunan bilangan primad.3 Himpunan bilangan primae. {5} Himpunan bilangan primaf. {1, 2, 3} Himpunan bilangan aslig. 4, 7 {3, 4, 5, 7}h. {0, 1, 2, 3} Himpunan bilangan aslii. {1, 2, 3} Himpunan bilangan primaj. {0, 1, 4, 6, 8} Himpunan bilangan kompositk. Himpunan abjad Latin {a, b, c, d, e, f, g, h}l. {1, 4, 9, 16} Himpunan bilangan asli kuadratm.{x : x < 5, x bilangan asli} {1, 2, 3, . . .}n. {2, 4, 6, 8} {x : x bilangan cacah}o. Himpunan bilangan prima {2, 3, 5, 7, 11}3.Manakah di antara himpunan-himpunan berikut yangmerupakan himpunan kosong dan bukan himpunankosong?a. Himpunan orang tua siswa yang usianya di bawah 10tahun.b. Himpunan bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidakgenap.c. Himpunan bilangan prima yang genap.d. Himpunan siswa SMP yang usianya tidak lebih dari 14tahun.e. Himpunan guru SMP yang tidak berkendaraan motor.4.Tentukan semua himpunan bagian dari:a. {p, q}b. {i, d, a}5.Berapa banyaknya himpunan bagian dari:a. {a, l, b, u, m}b. {p, i, c, t, u, r, e}
182BAB 6 Himpunan6.Jika diketahui A = Himpunan warna-warna pelangi, atauA= {merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu}Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikuta. {ungu} Ab. {kuning, biru, merah} Ac. Himpunan warna bendera Indonesia Ad. {x : x warna lampu lalu lintas} Ae. {merah, jingga, kuning, hijau} A7.Jika P = {bilangan bulat positif kurang dari 26}Nyatakan manakah di antara himpunan-himpunan berikutyang merupakan himpunan bagian dari P.Tulislah semua anggota himpunan dari a s.d. e daripertanyaan berikut.a. A = {bilangan cacah yang kurang dari 15}.b. B = {bilangan asli yang lebih dari 5 dan kurang dari 21}.c. C = {bilangan ganjil yang kurang dari 20}.d . D = {bilangan genap yang lebih dari 2 dan kurang dari 20}.e. E = {bilangan prima yang kurang dari 20}.Berpikir kritis8.Jika diketahuiA = {1, 2, 3}B = {1, 2, 3, 4, 5}C = {1, 2, 3, 4, . . . , 10}Nyatakan benar atau salah!a. A Bb. B C c. A C9.JikaP = Himpunan bilangan prima kurang dari 10.Q = Himpunan bilangan prima antara 1 dan 20.R = Himpunan bilangan prima tidak lebih dari 30.Nyatakan benar atau salah!a. P Qb. Q R c. P RKaitan dengan kehidupan dunia nyata
Matematika SMP Kelas VII 18310. Dari soal nomor 5 dan 6 tersebut, dapatkah kitamenyimpulkan bahwa: “Jika A B dan B C, makaA C”Jelaskan pendapatmu!11. Benar atau salah pernyataan berikut?a. {1, 2, 3} {1, 2, 3}b. {a, b, c, d, e} {a, b, c, d, e}c. {2, 3, 5, 7, 11, . . .} Himpunan bilangan primad. {0, 1, 2, 3, . . . } Himpunan bilangan cacah.e. {x : 1 dxd 5, x bilangan asli} {1, 2, 3, 4, 5}12. Dari soal nomor 10 tersebut, dapatkah kita menyimpulkanbahwa: A A, B B untuk sebarang himpunan A atau B?Jelaskan pendapatmu!13. Dapatkah kita menyimpulkan bahwa setiap himpunanmerupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri?Jelaskan pendapatmu!
184BAB 6 HimpunanMenjelang Ujian Akhir SD, semua siswa kelas 6harus menyiapkan diri dan mempelajari denganbaik sebanyak 5 mata pelajaran yang akandiujikan, yaitu: PPKN, Bahasa Indonesia,Matematika, IPA dan IPS.Gambar 6.10 Ibu yang sedang membelajarkan anaknyaSeminggu sebelum ujian, Ani sudah mempelajari dengan baik3 mata pelajaran, yaitu: PPKn, Bahasa Indonesia, danMatematika.Sedangkan Budi baru mempelajari dengan baik 2 matapelajaran, yaitu: IPA dan Matematika.Dari keterangan di atas, kita dapat membentuk himpunan-himpunan antara lain:S=Himpunan mata pelajaran pada ujian akhir SD.A=Himpunan mata pelajaran pada ujian ajhir SD yangsudah dipelajari Ani.B=Himpunan mata pelajaran pada ujian akhir SD yangsudah dipelajari Budi.Sumber:Dit. PSMP, 20066.5IrisanApa yang akan kamupelajari?ÀPengertian irisan duahimpunan danmenentukan irisan duahimpunan.ÀMenggambarkan diagramVenn dari irisan duahimpun-an.ÀMenyelesaikan soal ceritatentang irisan duahimpunan, de-nganmenggunakan diagramVenn.Kata Kunci:xIrisan dua himpunanxDua himpunan salinglepas dan tidak salinglepas.APengertian Irisan Dua Himpunan
Matematika SMP Kelas VII 185Jika dinyatakan dengan cara mendaftar semua anggotanya,maka diperoleh:S= { PPKn, Bahasa Indonesia, Matematika, IPA, IPS }A= { PPKn, Bahasa Indonesia, Matematika }B= { Matematika, IPA }Bagaimana gambar diagram Venn dari ketiga himpunantersebut? Di antara beberapa mata pelajaran tersebut, adakahmata pelajaran yang:a. sudah dipelajari oleh Ani dan Budi?b. sudah dipelajari Ani saja?c. sudah dipelajari Budi saja?d. belum dipelajari oleh keduanya?Jika kita gambarkan himpunan-himpunan tersebut dalam dia-gram Venn, maka kita peroleh :Coba jelaskan, apa yang kamu lihat pada diagram di atas!Dari diagram Venn di atas, tampak bahwa:a.Matematika A dan Matematika Bb.PPKn A, dan PPKn B.Bahasa Indonesia A, dan Bahasa Indonesia B.c.IPA B, dan IPA A.d.IPS A, dan IPS B.SSABxPPKn xIPA xMAT. xB.INDO. xIPSGambar 6.11 Diagram Venn tentang Irisan Himpunan A dan B IPA PPKn B.INDO IPSBA MATT
186BAB 6 HimpunanKeempat pernyataan tersebut menunjukkan bahwa:a.Mata pelajaran yang telah dipelajari oleh Ani dan Budiadalah Matematika.b.Mata pelajaran yang telah dipelajari oleh Ani tetapi belumdipelajari oleh Budi adalah PPKn dan Bahasa Indonesia.c.Mata pelajaran yang telah dipelajari oleh Budi tetapi belumdipelajari oleh Ani adalah IPA.d.Mata pelajaran yang belum dipelajari oleh Ani dan jugabelum dipelajari oleh Budi adalah IPS.Sekarang perhatikan kembali himpunan:A= {PPKn, Bahasa Indonesia, Matematika}B= {Matematika, IPA}Jika kita perhatikan anggota-anggota kedua himpunan tersebut,ternyata ada anggota A yang juga menjadi anggota B, yaituMatematika.Himpunan yang memuat semua anggota A yang juga menjadianggota B disebut irisan himpunan A dan B, yangdilambangkan dengan A B.Dari contoh tersebut kita peroleh bahwa: A B = {Matematika}Sekarang perhatikan contoh berikut ini.A= Himpunan bilangan komposit kurang dari 12.B= Himpunan bilangan kuadrat kurang dari 20.Jika dinyatakan dengan cara mendaftar, diperoleh:A= {4, 6, 8, 9, 10}B= {1, 4, 9, 16}Jika digambarkan dengan diagram Venn, maka diperoleh:SSA B641 A 8B10 916 Gambar 6.12 Diagram Venn tentang Irisan Himpunan A dan B B
Matematika SMP Kelas VII 187Dari contoh tersebut ternyata:4 A, dan 4 B.9 A, dan 9 B.Anggota himpunan A yang juga menjadi anggota B adalah 4dan 6. Jadi, himpunan semua anggota A yang jugamenjadi anggotaB adalah { 4, 9 }.Hal ini berarti A B = { 4, 9 }.Dari contoh-contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa:Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota A yang menjadi anggota B, yang dilambangkan dengan A B. Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan adalah: A B = { x | x A dan x B }Irisan Misal A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7, 8}.Anggota-anggota A yang juga menjadi anggota B adalah 2 dan 3.Jadi A B = {2, 3}.Jika digambarkan dalam diagram Venn, maka diperoleh:Dari gambar di atas, kita juga bisa menyatakan bahwa: 2 dan 3merupakan anggota yang dimiliki secara bersama olehhimpunan A dan B.SSA B125 A 8B437Gambar 6.13 Diagram Venn tentang Irisan dua Himpunan A dan B BContoh
188BAB 6 Himpunan Menentukan Irisan Dua HimpunanUntuk menentukan irisan dua himpunan, ada beberapakemungkinan yaitu:1.Jika himpunan yang satu merupakan himpunan bagiandari himpunan yang lain.MisalP= Himpunan 6 abjad Latin yang pertamaQ= Himpunan 3 abjad Latin yang pertamaJadiP= {a, b, c, d, e, f}Q= {a, b, c} P Q = Q = {a, b, c}Gambar diagram Vennnya seperti di bawah ini.Jika K= Himpunan bilangan asli yang tidak lebih dari 7.L= Himpunan bilangan asli ganjil yang tidak lebih dari 7.maka K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} L = {1, 3, 5, 7} K L = {1, 3, 5, 7} = LSSdf QePabcGambar 6.14 Diagram Venn tentang Irisan dari Himpunan bagian BContoh 1Contoh 2P
Matematika SMP Kelas VII 189Gambar diagram Vennnya sebagai berikut.SS62 L 4K1573Gambar 6.15 Diagram Venn tentang Irisan dari Himpunan bagian Apa yang dapat kamu simpulkan dari dua contoh tersebut diatas?Jika A B maka A B = A Sifat Irisan 2.Himpunan samaDua himpunan dikatakan sama bila elemen-elemennyasama.DitentukanM = Himpunan bilangan asli kurang dari 7N = {x : 0 x < x < 7, x bilangan cacah}Bagaimana M N?Jawab:M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} M N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Diagram Vennnya sebagaiberikut.SSM = N1 3 45 6 2Gambar 6.16 Diagram Venn tentang Himpunan sama M dan N M = NContoh 1
190BAB 6 HimpunanMisalX= Himpunan bilangan prima antara 1 dan 10Y= { 2, 3, 5, 7 }Carilah X Y.Jawab:Karena X = { 2, 3, 5, 7 } dan Y = { 2, 3, 5, 7 }maka X Y = { 2, 3, 5, 7}.Diagram Vennnya sebagai berikut.SSX = Y 2357Gambar 6.17 Diagram Venn tentang Himpunan sama X dan Y Apa yang dapat kamu simpulkan dari dua contoh tersebut diatas!Dari dua contoh tersebut, kita dapat menyatakan bahwa:Jika A = B maka A B = A = B Sifat Irisan Jika kedua himpunan tidak saling lepas dan himpunan yangsatu bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan yanglain.Jika C = Himpunan 5 bilangan asli kuadrat yang pertama.D = Himpunan 5 bilangan asli kelipatan 4 yang pertama.Carilah C D.Jawab:Karena C = { 1, 4, 9, 16, 25 } dan D = { 4, 8, 12, 16, 20 }maka C D = { 4, 16 }Contoh 23. Himpunan yang tidak saling lepasContoh
Matematika SMP Kelas VII 191Kedua himpunan tersebut dapat ditunjukkan dengan diagramVenn sebagai berikut.4.Dua himpunan yang saling lepasJika kedua himpunan saling lepas maka irisannya adalahhimpunan kosong.Misal M = Himpunan bilangan prima antara 1 dan 10. N = Himpunan bilangan kuadrat antara 1 dan 10.Carilah M N.Jawab:Karena M = {2, 3, 5, 7} dan N = {4, 9} berarti tidak adaanggota M yang juga menjadi anggota N.Hal ini berarti M N tidak mempunyai anggota atau M N =.M dan N adalah himpunan-himpunan saling lepas.Diagram Venn Irisan Dua Himpunan untuk MenyelesaikanSoal CeritaKita sering tertarik dalam menentukan banyaknya elemen darigabungan dua himpunan. Untuk menentukan banyaknyaelemen dalam gabungan dua himpunan berhingga A dan Btetapi ingat bahwa kita menghitung banyaknya elemen darimasing-masing himpunan yaitu banyaknya elemen di A tetapitidak di B atau di B tetapi tidak di A secara tepat satukali, danmasing-masing elemen di A dan B secara tepat duakali.SS8141225C CD D916 20Gambar 6.18 Diagram Venn tentang Irisan Irisan dua Himpunan yang tidak saling lepas CD . 4 . 9 . 1 . 8 . 12 . 20 .D . 25C . 16CContoh
192BAB 6 HimpunanDari sekelompok siswa ternyata:25 siswa suka makan bakso,20 siswa suka makan soto, dan12 siswa suka makan keduanya (bakso dan soto).Berdasarkan keterangan di atas:a.Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaantersebut!b.Berapa banyak siswa dalam kelompok tersebut?c.Berapa banyak siswa yang suka makan bakso saja?Jawab:Jika dimisalkan:B= Himpunan siswa yang suka makan baksoT= Himpunan siswa yang suka makan sotoB T = Himpunan siswa yang suka makan bakso dan soto maka:a.Gambar diagram Vennnya adalah sebagai berikut(angka menunjukkan banyak anggota)b.Banyak siswa dalam kelompok tersebut adalah (25 + 20 - 12) orang siswa = 33 orang siswa. Mengapa?c.Banyak siswa yang suka makan bakso saja adalah 13 or-ang siswa.Selanjutnya diskusikan dengan teman-temanmu sebanyak 2 atau4 orang tentang Contoh 2 berikut ini.SSB T B T 13 12 8 Gambar 6.19 Diagram Venn tentang Irisan dua Himpunan B dan T TContoh 1
Matematika SMP Kelas VII 193Di antara 100 orang siswa di suatu SMP didapatkan datasebagai berikut:45siswa menyenangi pelajaran Matematika,38siswa menyenangi pelajaran Bahasa Inggris,20siswa menyenangi pelajaran IPA,12siswa menyenangi pelajaran Matematika dan BahasaInggris,10siswa menyenangi pelajaran Matematika dan IPA, 8siswa menyenangi pelajaran IPA dan Bahasa Inggris 4orang menyenangi ketiga pelajaran tersebut (Matematika,IPA, Bahasa Inggris).Berdasarkan keterangan tersebut,a.Gambarkan diagram Venn yang menggambarkan keadaantersebut!b.Hitunglah banyak siswa yang:1)menyenangi Matematika saja.2)menyenangi Bahasa Inggris saja.3)menyenangi IPA saja.4)menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi IPA.5)menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangiBahasa Inggris.6)menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Matematika7)menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Bahasa Inggris.8)menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangiMatematika.9)menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangiIPA.10) tidak menyenangi ketiganya.Jawab:Misalkan M = Himpunan siswa yang menyenangi pelajaranMatematika.B= Himpunan siswa yang menyenangi pelajaranBahasa Inggris.I= Himpunan siswa yang menyenangi pelajaranIPA.Contoh 2
194BAB 6 Himpunanmaka:a.diagram Venn yang menggambarkan keadaan di atasadalah sebagai berikut.b.Banyak siswa yang:1)menyenangi Matematika saja 27 orang.2)menyenangi Bahasa Inggris saja 22 orang.3)menyenangi IPA saja 6 orang.4)menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi IPA(27+8) orang = 35 orang.5)menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangiBahasa Inggris ada (27 + 6) orang = 33 orang.6)menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Matematikaada (6 + 4) orang = 10 orang.7)menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi BahasaInggris ada (6 + 6) orang.8)menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangiMatematika ada (22 + 4) orang = 26 orang.9)menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangiIPA ada (22 + 8) orang = 30 orang.10) tidak menyenangi ketiga pelajaran ada 23 orang422918S27IBM22 6 23864Apa yang bisa kamujelaskan dari gambardi samping ini?Gambar 6.20Diagram Venn tentang Irisan tiga Himpunan
Matematika SMP Kelas VII 1951.Diketahui: A= {a, b, c, d, e}B= {b, c, e, g, k}C= {a, c, e, g, h}a.Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah:1) A B2) A C3) B Cb.Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soaltersebut.2.Diketahui: P = {x : xd 4, x bilangan asli}Q = {x : 0 < xd 7, x bilangan asli}R = {x : 3 dxd 8, x bilangan asli}a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah:1) P Q2) P R3) Q Rb. Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soaltersebut.3.Diketahui:K = Himpunan kuadrat bilangan asli kurang dari 50.L = Himpunan bilangan kelipatan 4 kurang dari 50M = Himpunan bilangan kelipatan 5 kurang dari 50.a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, tentukan :1) K L2) K M3) L Mb. Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soaltersebut.4.Perhatikan diagram Venn di bawah ini.Berdasarkan diagram Venn di bawah ini, dengan caramendaftar semua anggotanya tentukan:a. S, yang merupakan himpunan semestanya.b. Ac. Bd. A BSS1103592419 6B A711814 13 18 20 1512 17Gambar 6.21 Diagram Venn tentang Irisan dua Himpunan A dan B .3.4.6Latihan 6.5
196BAB 6 Himpunan5.Pada seorang agen koran dan majalah tercatat 12 orangyang berlangganan keduanya, 20 orang berlanggananmajalah saja, 8 orang berlangganan koran saja.a.Gambarlah diagram Venn untuk menggambarkankeadaan di atas, dengan M = Himpunan pelangganmajalah, dan K = Himpunan pelanggan koran.b.Berapa banyak pelanggan pada agen tersebut.6.Di antara sekelompok siswa yang terdiri atas 40 orangternyata 20 orang suka mengarang, 22 orang suka melukis,dan 7 orang suka melakukan keduanya.a.Gambarlah diagram Venn untuk menggambarkankeadaan di atas, dengan K = Himpunan siswa yangsuka mengarang, dan L = Himpunan siswa yang sukamelukis.b.Berapa banyak siswa yang tidak suka melukis dantidak suka mengarang?c.Berapa banyak siswa yang suka melukis saja?d.Berapa banyak siswa yang suka mengarang saja?7.Di antara 75 orang remaja puteri diketahui bahwa:30orang senang menjahit,35orang senang memasak,35orang senang merangkai bunga,8orang senang menjahit dan memasak,15orang senang menjahit dan merangkai bunga,12orang senang memasak dan merangkai bunga,5orang senang ketiganya.Berdasarkan keterangan tersebut, maka:a.Gambarkan diagram Venn yang menunjukkankeadaan tersebut, dengan memisalkan:J = Himpunan remaja puteri yang senang menjahit.M = Himpunan remaja puteri yang senang memasak.R = Himpunan remaja puteri yang senang merangkaibunga
Matematika SMP Kelas VII 197b.Tentukan banyak remaja puteri yang:1)senang menjahit saja.2)senang memasak saja.3)senang merangkai bunga saja.4)senang merangkai bunga tetapi tidak suka menjahit.5)senang merangkai bunga tetapi tidak suka memasak.6)senang memasak tetapi tidak suka menjahit7)senang memasak tetapi tidak suka merangkai bunga.8)senang menjahit tetapi tidak suka memasak.9)senang menjahit tetapi tidak suka merangkai bunga10) tidak senang dengan ketiga kegiatan tersebut.
198BAB 6 HimpunanPerhatikan kembali himpunan-himpunan yangsudah kamu pelajari , yaitu:A = Himpunan mata pelajaran pada ujianakhir SD yang sudah dipelajari Ani.A = {PPKn, Bahasa Indonesia, Matematika}danB = Himpunan mata pelajaran pada ujianakhir SD yang sudah dipelajari Budi. B = {Matematika, IPA}Jika kita gabungkan semua pelajaran yangsudah dipelajari oleh Ani atau Budi, maka kitaperoleh suatu himpunan, yaitu:Himpunan mata pelajaran yang sudahdipelajari oleh Ani atau Budi, atauJika digambarkan dalam diagram Venn, diperoleh:Bagian yang diarsirmenunjukkan A B6.6GabunganApa yang akan kamupelajari?ÀPengertian gabungan duahimpunan.ÀMenentukan gabungandua himpunan.ÀGambar diagram Venngabungan dua himpunan.ÀSoal cerita tentanggabungan dua himpunan,dengan menggunakandiagram Venn.Kata Kunci:xGabungan dua himpunanAPengertian Gabungan Dua Himpunan{PPKn, Bahasa Indonesia, Matematika, IPA}, yangmerupakan gabungan himpunan A dan himpunan B.Jadi, himpunan semua anggota A atau anggota B itumerupakan gabungan himpunan A dan himpunan B, yangdilambangkan dengan A B.SSB Ax PPKN xIPA xMat. xB. Indon. Gambar 6.22 Diagram Venn tentang gabungan Himpunan A dan B
Matematika SMP Kelas VII 199Bagaimana cara menyatakan gabungan dua himpunan itu secaramatematis?Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis: A B = { x | x A atau x B } Gabungan Jadi, apa perbedaan irisandua himpunan dengan gabungandua himpunan?Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7, 8}, makaA B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}Jika digambarkan dalam diagram Venn, diperolehSSA B1258437Gambar 6.23 Diagram Venn tentang gabungan HiMpunan A dan BBagian yang diarsirmenunjukkan A BCoba cari 2 himpunan lain, kemudian tentukan gabungan duahimpunan tersebut!Menentukan Gabungan Dua HimpunanUntuk menentukan gabungan dua himpunan ada beberapakemungkinan, yaitu:a.Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian darihimpunan yang lainJika gabungan dari dua himpunan dimana himpunan Amemuat himpunan B, maka gabungan A dan B adalahhimpunan A sendiriContoh 1B
200BAB 6 HimpunanJikaA= {a, b, c, d, e, f}, B = {a, c, d}makaA B= {a, b, c, d, e, f} = A.Gambar diagram Vennnya sebagai berikut.Bagian yang diarsirmenunjukkan A BSSA a cfbBd eGambar 6.24 Diagram Venn tentang gabungan dari B AJika A = Himpunan bilangan asli yang tidak lebih dari 7.B = Himpunan bilangan asli ganjil yang tidak lebih dari 7.maka A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}B= {1, 3, 5, 7} A B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = AGambar diagram Vennya sebagai berikut.SS B1346 A572Gambar 6.25 Diagram Venn tentang gabungan dari B ABagian yangdiarsirmenunjukkanA BContoh 2Contoh 3
Matematika SMP Kelas VII 201Dari dua contoh di atas, kita dapat menyatakan bahwa: Jika B A maka A B = A Sifat Gabungan a.Jika kedua himpunan samaKarena dua himpunan itu sama, maka gabungannyaadalah himpunan itu sendiriJikaA = Himpunan bilangan asli kurang dari 7, danB = {x : 0 < x < 7, x bilangan cacah},maka A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A = BDiagramVennnya sebagai berikut.Gambar 6.26 Diagram Venn tentang gabungan dua Himpunan yang sama SSA = B13 456 2Bagian yangdiarsirmenunjukkanA BMisal A = Himpunan bilangan prima antara 1 dan 10B = {2, 3, 5, 7}Carilah A B.Jawab:KarenaA = {2, 3, 5, 7} dan B = {2, 3, 5, 7}maka A B = {2, 3, 5, 7} = A = B.Contoh 4Contoh 5
202BAB 6 HimpunanDiagram Vennnya sebagai berikut.SSA = B .3 .2 .5 .7Gambar 6.27 Diagram Venn tentang gabungan dua sam a Apa yang dapat kamu simpulkan dari dua contoh tersebut?Dari dua contoh di atas, kita dapat menyatakan bahwa: Jika A = B maka A B = A = B Sifat Gabungan c.Dua himpunan saling lepasJika dua himpunan saling lepas, maka gabungannya adalahmenggabungkan semua elemen dari kedua himpunantersebut.JikaA = Himpunan bilangan asli ganjil kurang dari 10.B = Himpunan bilangan cacah genap kurang dari 10.maka A = {1, 3, 5, 7, 9}B = {0, 2, 4, 6, 8} A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Jika digambarkan dalam diagram Venn, maka diperoleh:SS A B 1043 576298Gambar 6.28 Diagram Venn tentang gabungan dua himpunan yang saling lepas Bagian yang diarsirmenunjukkan A BBagian yang diarsirmenunjukkanA BContoh 6
Matematika SMP Kelas VII 203d.Dua himpunan yang tidak saling lepasJika Dua himpunan tidak saling lepas, maka gabungannyaadalah menggabungkan setiap elemen dari keduahimpunan tersebut, tetapi elemen irisannya hanya dihitungsatukali.Misal A = Himpunan kuadrat dari 6 bilangan asli yangpertama.B = Himpunan 6 bilangan asli kelipatan 4 yang pertama.Carilah A B.Jawab:KarenaA = {1, 4, 9, 16, 25 } dan B = {4, 8, 12, 16, 20, 24}maka A B = {1, 4, 8, 9, 16, 20, 24, 25}Diagram Vennnya sebagai berikut.Gambar 6.29 Diagram Venn tentang dua himpunan yang tidak saling lepas SS81412 25 A 20 B916 24Bagian yang diarsirmenunjukkanA BDiagram Venn Gabungan Dua Himpunan untuk MenyelesaikanSoal CeritaCara terbaik untuk menggunakan gabungan dua himpunan untukmenyelesaikan soal cerita adalah menggunakan diagram VennDi antara sekelompok siswa yang terdiri atas 57 orang ternyata40 orang suka makan bakso, dan 32 orang suka makan soto, 17orang suka kedua-duanya.a.Gambarlah diagram Venn untuk menggambarkan keadaandi atas.b.Berapa banyak siswa yang suka bakso atau soto?c.Berapa banyak siswa yang tidak suka makan keduanya?Contoh 7CContoh 1
204BAB 6 HimpunanJawab:a.Gambar diagram Vennnya sebagai berikut.(Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkanbanyak-nya siswa)Gambar 6.30 Diagram Venn tentang gabungan dua himpunan SSB T 231715 B T 2Misalkan:B = Himpunan siswa yang suka makan baksoT = Himpunan siswa yang suka makan sotoB T = Himpunan siswa yang suka makan bakso atausoto.b.Banyak siswa yang suka makan bakso atau soto adalah(40 + 32 - 17) orang siswa = 55 orang siswa.c.Banyak siswa yang tidak suka makan keduanya (bakso dansoto) adalah (57 - 55) orang = 2 orang siswa.Selanjutnya diskusikan dengan temanmu Contoh 2 berikut.Di antara 100 orang siswa di suatu SMP didapatkan data sebagaiberikut:32 siswa suka memelihara ayam,30 siswa suka memelihara burung,20 siswa suka memelihata kucing,8siswa suka memelihara ayam dan burung,7siswa suka memelihara ayam dan kucing,9siswa suka memelihara burung dan kucing,Contoh 2
Matematika SMP Kelas VII 2055siswa suka memelihara ketiganya.Berdasarkan keterangan tersebut, maka:a. Gambarkan diagram Venn yang menunjukkan keadaandi atas.b. Tentukan banyak siswa yang:1)suka memelihara ayam atau burung.2)suka memelihara ayam saja.3)suka memelihara salah satu saja dari ketiganya.4)suka memelihara burung, tetapi tidak sukamemelihara ayam.5)suka memelihara ayam, tetapi tidak suka memeliharakucing.6)tidak suka memelihara ketiganyaJawab:Misalkan:A= Himpunan siswa yang suka memelihara ayam.B= Himpunan siswa yang suka memelihara burung.K= Himpunan siswa yang suka memelihara kucing.Maka:a.diagram Venn yang menggambarkan keadaan di atasadalah sebagai berikut.(Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkanbanyaknya siswa)Gambar 6.31 Diagram Venn tentang gabungan tiga himpunan S2322 KBA95418
206BAB 6 Himpunanb.Banyak siswa yang:1)suka memelihara ayam atau burung = (22 + 2 + 5 + 3+4 + 18) orang = 54 orang.2)suka memelihara ayam saja = 22 orang.3)suka memelihara salah satu saja dari ketiganya = (22+ 9 + 18) orang = 49 orang.4)suka memelihara burung, tetapi tidak suka memeliharaayam = (18 + 4) orang = 22 orang.5)suka memelihara ayam, tetapi tidak suka memeliharakucing = (3 + 22) orang = 25 orang.6)tidak suka memelihara ketiganya = 37 orang1.Diketahui A = {1, 2, 3, 5, 7}B = {4, 5, 6, 7, 9}C = {3, 7, 8, 9, 10, 11}Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan:a. A Bb. A Cc. B Cd.Gambarlah masing-masing gabungan denganmenggunakan dia gram Venn.2.Diketahui A = {x : x d 5, x bilangan asli}B = {x : 3 < x < 8, x bilangan asli}C = {x : 5 d x d 10, x bilangan asli}Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan:a. A Bb. A Cc. B Cd.Gambarlah masing-masing gabungan denganmenggunakan dia gram Venn.3.Diketahui A = Himpunan kuadrat bilangan asli kurangdari 30.B = Himpunan kelipatan 5 yang kurang dari 30. C = Himpunan kelipatan 6 yang kurang dari 35.Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan:a. A Bb. A Cc. B Cd.Gambarlah masing-masing gabungan denganmenggunakan diagram Venn!Latihan 6.6
Matematika SMP Kelas VII 207Berpikir kritis:4.Di antara warga kampung yang terdiri atas 60 orang, ternyata20 orang ber-langganan majalah, 35 orang berlangganankoran, dan 5 orang berlangganan keduanya.a.Gambarlah suatu diagram Venn untuk menunjukkankeadaan di atas, dengan memisalkan M = Himpunanpelanggan majalah, dan K = Himpunan pelanggan koran.b.Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganankoran atau maja-lah?c.Berapa banyak warga kampung yang berlangganankoran atau majalah?d.Berapa banyak warga kampung yang berlangganankoran saja?e. Berapa banyak warga kampung yang berlanggananmajalah saja?5.Di antara sekelompok siswa yang terdiri atas 50 orangternyata 20 orang suka main tenis, 33 orang suka main bas-ket, dan 8 orang suka main keduanya.a.Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaandi atas.b.Berapa banyak siswa yang suka main tenis atau basket?c.Berapa banyak siswa yang tidak suka main keduanya?d.Berapa banyak siswa yang suka main tenis saja?e.Berapa banyak siswa yang suka main basket saja?6.Di antara sekelompok warga yang terdiri atas 50 orang yangsedang berbelanja ke pasar ternyata 25 orang membeli buahapel, 23 orang membeli buah pisang, dan 8 orang membelikedua macam buah tersebut.a.Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaandi atas.b.Berapa banyak warga yang membeli buah apel atau buahpisang?c.Berapa banyak warga yang membeli buah apel saja?d.Berapa banyak warga yang membeli salah satu darikedua macam buah tersebut?e.Berapa banyak warga yang tidak membeli kedua macambuah tersebut.
208BAB 6 Himpunan7.Jika diketahui:S = Himpunan siswa yang senang makan soto.B = Himpunan siswa yang senang makan bakso.G = Himpunan siswa yang senang makan gado-gado.dengan diagram Venn sebagai berikut.(Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkanbanyaknya siswa)18 515 GBS11 1217 13 9Tentukan banyak siswa yang:a. senang makan soto atau baksob. senang makan bakso atau gado-gado.c. senang makan bakso saja.d. senang makan gado-gado saja.e. senang makan soto tetapi tidak senang makan gado-gado.f. senang makan soto, tetapi tidak senang makan bakso.g. senang makan bakso, tetapi tidak senang makan soto
Matematika SMP Kelas VII 209Pengertian KomplemenSering terjadi bahwa semua himpunan yangdidiskusikan dalam suatu konteks matematistertentu merupakan himpunan bagian dari suatuhimpunan khusus.Misal S adalah himpunan semua mata pelajarandi sekolahmu yang dilambangkan dengan;S = {PPKn, Bhs Indonesia, Matematika, Ekonomi,PKK, IPA, IPS, Bhs Inggris, Penjas, Kesenian}.Jika himpunan M = {IPA, Matematika} dan Sadalah himpunan semestanya, maka matapelajaran apakah yang termasuk anggotahimpunan S, tetapi tidak termasuk dalamhimpunan M?Misal S adalah himpunan semua huruf dalam abjad Latin yangdilambangkan denganS = {Seluruh abjad Latin}.Jika himpunan V= {Huruf vokal dalam abjad Latin} dan S adalahhimpunan semestanya, maka huruf apakah yang termasukhimpunan S tetapi tidak termasuk anggota himpunan V?Pada Contoh 1 di atas, PPKn, Bhs Indonesia, Bhs Inggris,Ekonomi, PKK, IPS, Penjas, dan Kesenian termasuk anggotahimpunan semesta S, tetapi bukan anggota himpunan M. PadaContoh 2 di atas, huruf mati seperti b dan n anggota himpunansemesta S tetapi bukan anggota himpunan V.6.7Komplemen dan SelisihHimpunanApa yang akan kamupelajari?ÀPengertian himpunankomplemenÀMenentukan himpunankomplemen.ÀMenentukan selisih duahimpunanÀMenunjukkan himpunankomplemen pada suatudiagram Venn.ÀMenunjukkan selisih duahimpunan pada diagramVennKata Kunci:xHimpunan KomplemenxSelisih dua himpunanAContoh 1Contoh 2
210BAB 6 HimpunanMata pelajaran yang tidak masuk dalam himpunan M danhuruf-huruf yang tidak termasuk anggota himpunan V, masing-masing merupakan himpunan bagian dari himpunan semestaS. Himpunan bagian seperti ini disebut himpunan Komplemendari suatuhimpunan. Misalnya, himpunan komplemen dari himpunanM dilambangkan M’(penulisan lain Mc) dan dibaca sebagai“komplemen dari himpunan M” atau “komplemen M.”Komplemen dari himpunan V dilambangkan denganV’(penulisan lain Vc) dibaca “komplemen V.”Dengan notasi, komplemen suatu himpunan dapat dinyatakansebagai berikut.Diagram Venn Himpunan KomplemenPerhatikan kembali himpunan-himpunan mata pelajaran danabjad Latin di Contoh 1 dan Contoh 2. Penyelesaian masing-masing adalah:a.S= {PPKn, Bhs Indonesia, Matematika, Ekonomi, PKK,IPA, IPS, Bhs Inggris, Penjas, Kesenian}M={IPA, Matematika}M’ = {PPKn, Bhs Indonesia, Bhs Inggris, Ekonomi, PKK,IPS, Penjas, Kesenian}Misal terdapat himpunan A dan himpunan semestanyaS. Maka komplemen dari A, atau A’, adalah:A = {x : x S dan x A}BContoh 3
Matematika SMP Kelas VII 211Diagram Venn-nya adalah:SSxEkonomiMxPenjas xIPS xIPA x PPKn xMat. xB. Inggris xPKK xB. Indon. xKesenian IPA MATGambar 6.32 Diagram Venn tentang komplemen dari suatu Himpunan M b.S= {a, b, c, d, ..., x, y, z}V= {a, e, i, o, u}V’ = {b, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, , y, z}Diagram Venn-nya adalahBagian yangdiarsiradalah M’Bagian yang diarsiradalah V’Untuk mengetahui hubungan antara suatu himpunan,komplemennya dan himpunan semestanya, salin dan lengkapitabel berkut ini.SSV konsonan vokalGambar 6.33 Diagram Venn tentang komplemen dari suatu Himpunan V SVVokalKonsonan
212BAB 6 HimpunanBerdasarkan kegiatan di atas, didapat kesimpulan sepertiberikut.Himpunan hasil dari menghubungkan dua himpunan sepertiirisan dan gabungan juga mempunyai komplemen.MisalS= Himpunan 40 bilangan asli pertama.A= Himpunan kuadrat dari 6 bilangan asli yangpertama.B= Himpunan 6 bilangan asli kelipatan 4 yangpertama.Carilah (AB)’Jawab:KarenaS = {1, 2, 3, ..., 38, 39, 40}A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} dan B = {4, 8, 12, 16, 20, 24}makaA B = { 4, 16} dan(AB)’= {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18,19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}Himpunan SemestaHimpunannyaKomple-mennyaIrisanGabungannyaCardinalitasnyaS = (Mata PelajarandiSMP)M= {IPA Matematika}n(M) + n(M) = S = (huruf abjadlatin)V = {Huruf hidup}S = {3,4,7,10,12,28}(1) M M = (2) M M’ = S(3) n(M) + n(M’) = n(S)Hubungan himpunankomplemen, dansemestanyaContoh 4Contoh 5
Matematika SMP Kelas VII 213Diagram Venn-nya adalah.BSAGambar 6.34 Diagram Venn tentang Komplemen dari Irisan Himpunan A dan B Selisih Dua HimpunanPada awal subbab ini telah dibahas himpunan komplementerhadap himpunan semesta S. Sekarang akan dipelajarikomplemen suatu himpunan terhadap himpunan lain.Perhatikan himpunan A dan B berikut:A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 5, 7, 11}Dari kedua himpunan di atas, carilah anggota B yang tidakada di A.Jawab:Dengan menggunakan definisi komplemen, Komplemen Aterhadap B adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada diA, yaitu {7, 11}. Komplemen B terhadap A adalah himpunanyang ada di A, tetapi tidak ada di B, yaitu {1, 3, 4}.Komplemen B terhadap A, ditulis A – B, dibaca sebagai “Ada diA tetapi tidak ada B”. Komplemen A terhadap B, ditulis B – A,dan dibaca “Ada di B, tetapi tidak ada di A.” Untuk himpunan diatas;(i)B – A = {7, 11}(ii) A – B = {1, 3, 4}Dengan notasi, selisih dua himpunan dapat dilambangkanseperti berikut.CContoh 6
214BAB 6 HimpunanDiketahui P = {1, 3, 5} dan Q = {2, 4, 6}. Karena P Q = ,maka P – Q = P = {1, 3, 5} dan Q – P = {2, 4, 6}.Secara visual, perhatikan diagram berikut.1.Tunjukkan bahwa apabila A adalah sebuah himpunan danS adalah himpunan semestanya, maka:a. ’ = Sb. S’ = c. (A’)’ = A2.Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A= {1, 2, 3, 5, 7}B = {4, 5, 6, 7, 9}Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan:a. (AB)’b. (AB)’c. Gambarlah diagram Venn-nya.3.DiketahuiS = {x : x t 5, x bilangan asli}B = {x : 5 < x < 8, x bilangan asli}C = {x : 5 d x d 10, x bilangan asli}Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan:a. (BC)’b. (BC)’c. B - Cd. Gambarlah diagram Venn masing-masingDiketahui himpunan A dan B. Maka selisihnyaadalah:A-B = {x : x $dan x %}A-B = {x : x %dan x $}S P Q 135246Gambar 6.35 Diagram Venn tentangSelisih dua Himpunan Pdan Q QS P Q 246135Gambar 6.36 Diagram Venn tentangSelisih dua Himpunan Qdan P QQContoh 7Latihan 6.7
Matematika SMP Kelas VII 2154.Diketahui:S = Himpunan kuadrat bilangan asli kurang dari 30.L = Himpunan kelipatan 5 yang kurang dari 30.E = Himpunan kelipatan 6 yang kurang dari 35.Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan:a. L Eb. E Lc. E – Ld. L - Ee. Gambarlah diagram Venn masing-masing.5.Di antara warga kampung yang terdiri atas 60 orang,ternyata 20 orang ber-langganan majalah, 35 orangberlangganan koran, dan 5 orang berlangganan keduanya.a. Gambarlah suatu diagram Venn untuk menunjukkankeadaan di atas, dengan memisalkan M = Himpunanpelanggan majalah, dan K = Himpunan pelanggan koran.b. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganankoranatau maja-lah?c. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganankoranatau majalah?d. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganankoransaja?e.Berapa banyak warga kampung yang tidak berlanggananmajalahsaja?f. Berapa banyak warga kampung yang berlangganan korantetapitidak berlangganan majalah?6.Di antara sekelompok siswa yang terdiri atas 50 orangternyata 20 orang suka main tenis, 33 orang suka mainbasket, dan 8 orang suka main keduanya.a. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaandi atas.b. Berapa banyak siswa yang tidak suka main tenis danbasket?c. Berapa banyak siswa yang tidak suka main keduanya?d. Berapa banyak siswa yang tidak suka main tenis saja?e. Berapa banyak siswa yang tidak suka main basket saja?f. Banyak siswa yang tidak suka main tenis tetapi suka bas-ket?
216BAB 6 Himpunan7.Di antara sekelompok warga yang terdiri atas 50 orangyang sedang berbelanja ke pasar ternyata 25 orang membelibuah apel, 23 orang membeli buah pisang, dan 8 orangmembeli kedua macam buah tersebut.a. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaandi atas.b. Berapa banyak warga yang tidak membeli buah apel danbuah pisang?c. Berapa banyak warga yang tidak membeli buah apel saja?d. Berapa banyak warga yang tidak membeli kedua macambuah tersebut?8.Jika diketahui:S = Himpunan yang suka jajan.A = Himpunan siswa yang senang makan soto.B = Himpunan siswa yang senang makan bakso.G = Himpunan siswa yang senang makan gado-gado.dengan diagram Venn sebagai berikut.(Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkanTentukan banyak siswa yang:a. tidak senang makan soto atau baksob. tidak senang makan bakso dan gado-gado.c. tidak senang makan bakso saja.d. tidak senang makan gado-gado saja.e. suka bakso tetapi tidak suka gado-gado.Gambar 6.35Diagram Venn tentang Selisih dua Himpunan P dan QGBA18 515 11 1217 13 9
Matematika SMP Kelas VII 217A. Pengertian himpunanSuatu koleksi objek-objek disebut suatu himpunan danobjek-objek itu disebut elemen atau anggota dari himpunanitu. Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapitalA, B, C, dst. Simbol “” digunakan untuk menyatakansuatu objek dari suatu himpunan, dan simbol “”menyatakan bukan suatu objek dari suatu himpunan.B.Cara menyatakan himpunanHimpunan dapat dinyatakan dalam tiga cara: (1) suatudeskripsi verbal, (2) suatu daftar anggota yang dipisahkandengan koma, dan dengan kurung kurawal buka dankurawal tutup.C. Himpunan berhingga dan tak berhingga1. Himpunan berhingga: A = {1, 2, 3, 4, 5}., n(A) = 52. Himpunan tak berhingga: B = {1, 2, 3, ...}., n(B) = fD. Diagram VennSuatu cara sederhana menjelaskan relasi antara himpunanadalah dengan diagram Venn.1. Himpunan semestaJika semua himpunan di bawah pertimbangan adalahhimpunan bagian dari suatu himpunan S tertentu, makahimpunan S disebut himpunan semesta.2. Himpunan bagianA B = {x : jika x A, maka x B}E. Operasi himpunan1. Irisan: A B = {x : x A dan x B}1.1 Sifat irisan: jika A B, maka A B = A1.2 Kesamaan himpunan: jika A = B, maka A B = A = B1.3 Himpunan yang tidak saling lepas:RANGKUMAN
218BAB 6 HimpunanIrisan dari dua himpunan yang tidak saling lepasadalah himpunan yang memiliki elemen-elemensekutu.1.4 Himpunan yang saling lepas:Irisan dari dua himpunan yang saling lepas adalahhimpunan kosong ()2. Gabungan: A B = {x : x A atau x B}2.1 Sifat gabungan: jika B A, maka A B = A2.2 Kesamaan himpunan: jika A = B, maka A B = A = B2.3 Himpunan yang tidak saling lepas:Jika dua himpunan yang tidak saling lepas, makagabungannya adalah menggabungkan setiap elemendari kedua himpunan itu tetapi elemen irisannya hanyadihitung satukali.2.4 Dua himpunan yang saling lepas:Jika himpunan A dan himpunan B saling lepas, makagabungan dari A dan B adalah himpunan yangmemuat semua elemen yang ada di A dan di B.2.5 Jika gabungan dari dua himpunan di mana himpunanA memuat himpunan B, maka gabungan dari A dan Badalah A sendiri.F.Komplemen dan selisih himpunan1. KomplemenKomplemen dari suatu himpunan A, ditulis A’ adalahhimpunan semua elemen di semesta, S yang tidak di A.2. Hubungan himpunan M, komplemen, dan semestanyaa. M M’ = b. M M’ = Sc. n(M) + n(M’) = n(S).3. Selisih dua himpunan A dan B:A – B = {x : x A dan x B}B – A = {x : x B dan x A}
Matematika SMP Kelas VII 219Tes objektif1.Jika= {a, a, b, b, c} dan B = {a, b, c, d, e}, maka pernyataanyang salah adalah:a. A B = {a, b, c}b. A B = {a, b, c, d, e}c. n (A) =5d. n (A) = 22.S = {huruf abjad}, A = {huruf vokal}, B = {huruf konsonan}.Pernyataan manakah yang salah?a. A B = Sc.A Sb. A B = d.A S3.Pernyataan manakah yangsalah sesuai dengangambar di bawah?a. A B = b. A B = c. S – A = A’d. S – B = B’4.Pernyataan di bawah ini yang sesuai denganA B = {x : x A dan x B} adalah:a. A B = {x : x A} {x : x B}b. A B = {x : x A} {x : x B}c. A B = d.A B = S5.Pernyataan di bawah ini yang sesuai denganA B = {x : x A atau x B} adalah:a. A B = {x : x A} { x : x B}b. A B = {x : x A} {x : x B}c. A B = d.A B = SS A B EVALUASI MANDIRI
220BAB 6 HimpunanDalam refleksi ini anda diharapkan dapat memonitor diri andasendiri tentang pemahaman anda dalam mempelajari topikhimpunan dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan sebagaiberikut.1.Jelaskan apa, bagaimana, dan mengapa mempelajari topikHimpunan dengan baik?2.Apakah anda dapat mengaitkan satu subtopik dengansubtopik lainnya dalam topik Himpunan?3.Jika anda tidak dapat mengaitkannya, apa kendalanya?Bagaimana tidaklanjutnya?4.Apakah anda dapat mengomunikasikan kepada temananda apa yang telah anda pelajari tentang topik Himpunan?5.Jika anda tidak dapat mengomunikasikannya, apakendalanya? Bagaimana tindaklanjutnya?6.Apakah anda dapat merangkum konsep-konsep kunci darimasing-masing subtopik dalam topik Himpunan?7.Jika anda tidak dapat merangkumnya, apa kendalanya?bagaimana tindaklanjutnya?8.. Makna apa yang anda peroleh setelah anda mempelajaritopik Himpunan?REFLEKSITes EssayMisalkan S adalah himpunan semesta, sedangkan A dan Badalah himpunan bagian dari S, di manaS = {e, u, r, a, s, i, h, o, m},A = {r, a, o},B = {s, e, r, m, a}. Tentukanlah:1.S – A = A’2.S – B = B’3.A B4.(A B)’5.A B